1. В треугольнике ABC биссектриса ВD и медиана AM перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.
Решение:
Пусть К - точка пересечения медианы АМ и биссектрисы ВD треугольника АВС.
Рассмотрим △АВM:
ВК является медианой и высотой, а значит △АВM - равнобедренный (свойства равнобедренного треугольника).
Следовательно ВК также и медиана, то есть АК=КM=12:2=6
Пусть KD=x, тогда ВК = BD-KD = 12-x. Выразим площадь треугольника:
Проведем отрезок DM. Выразим площади появившихся треугольников:
Рассмотрим △BDC:
В данном треугольнике DM является медианой, следовательно она делит треугольник на два равновеликих (медиана треугольника), значит 
Рассмотрим △АВС:
АМ - медиана, значит она делит треугольник на два равновеликих, то есть: 
Составим уравнение из данного равенства площадей:
, отсюда x = 3, DK = 3, BK = 9Найдем АВ по теореме Пифагора из △АВК: 
Найдем AD по теореме Пифагора из △АВD: 
Так как BD биссектриса △АВС, то по свойству биссектрисы она делит сторону АС в том же соотношении, что и боковые стороны АВ и ВС, то есть:
Осталось найти 
Ответ: 
