Теорема Чевы1Теорема Чевы формулирует условие, при котором три произвольные чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке, то есть конкурентны.

Формулировка:

Три чевианы в треугольнике пересекаются в одной точке тогда, и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:
 
  
 
Для доказательства нам потребуются следующие теоретические факты:
  • Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точной на стороне, противоположной этой вершине
  • Площади треугольников с равными высотами относятся как основания, к которым эти высоты проведены
  • Конкурентные прямые - такие прямые, которые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Таким образом, будем доказывать, что чевианы конкурентны
  • "Тогда и только тогда" - выражение, обозначающее принцип необходимости и достаточности. Доказательство подразделяется на две части, сначала доказываем необходимость условия, а затем достаточность.

Доказательство:

1. Необходимость.
Треугольники АСС' и ВСС', а также пара треугольников АМС' и BMC' попарно имеют общие высоты. При этом пары треугольников АСС' и АМС', ВСС' и BMC' попарно имеют равные основания, следовательно:
 
 
Воспользовались свойством пропорций:   
 
Аналогичным образом составляем соотношения для других треугольников внутри АВС:
 
           
 
Теперь перемножим левые и правые части равенств (1), (2) и (3), получим:
 
 
что и требовалось доказать.
 

2. Достаточность.

Теорема Чевы, доказательство достаточностиПокажем, что выполнение исходного равенства достаточно, чтобы чевианы были конкурентны. Доказательство будем строить "от противного".
Предположим, что выполняется исходное равенство (1), но чевианы при этом не пересекаются в одной точке. Чевиана АА' не проходит через точку О пересечения чевиан BB' и CC'. В таком случае можно найти другую чевиану AA'', которая будет проходить через точку О. И для трёх конкурентных чевиан можно будет составить новое тождество:
 
  
Приравняв левые части тождеств (1) и (5), получим:    
 
Из чего следует, что точки A' и A'' совпадают, а значит чевиана AA' совпадает с чевиантой AA'', то есть чевианы AA', BB', CC" конкурентны, что и требовалось доказать.
 

 

Теорема Чевы тригонометрическая формулировка

mataka.ru
Яндекс.Метрика